大樂透與威力彩中獎機率怎麼算？頭獎與任一獎項

大樂透中獎機率若指單注頭獎，是1／13,983,816；威力彩單注頭獎則是1／22,085,448。若改問「中任一獎項」，大樂透約3.0952%，威力彩約11.7830%，因為這時連符合條件的小獎也一起計算。

本文於2026年10月31日核對台灣彩券官方遊戲介紹，計算的是單期、單注、一般獎項，不含節慶加碼或另開獎號的促銷獎項。以下精確分數為依官方規則自行推導，百分比與「約幾分之一」才是四捨五入的近似值，不是歷史銷售資料的中獎比例。

一、先分清楚：頭獎機率、任一獎項與回本

「頭獎」只算最高獎項；「任一獎項」則是至少符合一個一般獎項。兩者的分母相同，但後者納入的情況更多，因此機率較大。

台彩官網將總中獎率分別簡寫為約1／32、約1／9，是概略表示。本文保留較多位數，方便讀者用後面的分子、分母重算；不能把官網的概數當成精確等式。

任一獎項機率也不是獲利機率。威力彩每注100元，玖獎與普獎的一般獎額也是100元，單注領到這些獎項不代表賺到100元；若同時買了其他未中注數，更要連同總成本計算。此處不比較哪種彩券較值得買。

二、頭獎分母怎麼來？不是把每個號碼直接相乘

用C（n，k）表示從n個不同號碼取k個、不計順序的組合數。公式為n!／［k! ×（n－k）!］，其中階乘「!」是從該整數一路乘到1。

為了方便數組合，以下先固定一組假設開獎結果，再數所有合法單注選號中，有多少組符合各獎項。在隨機開獎、各合法組合等可能的模型下，這與固定一注去等開獎，會得到相同機率。

大樂透：49選6，頭獎不另乘特別號

大樂透單注選6個不同號碼，不計開出順序，因此：

C（49，6）＝（49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44）／（6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1）＝13,983,816。

固定6個一般獎號後，只有1組6碼全部吻合，所以頭獎機率是1／13,983,816，約0.000007151%。不能用49的6次方，因為單注不允許重複號碼，也不能把同一組號碼的不同排列重複算進去。

特別號由另外開出的號碼決定，不是購券時另選的一區。頭獎只需6個一般獎號全中；一般號已全中時，單注也沒有空間再放特別號。對獎方式可接著看大樂透特別號與8種獎項說明。

威力彩：38選6，再配第二區8選1

威力彩第一區有C（38，6）＝2,760,681組，每組都能搭配8種第二區選號，完整單注共有：

C（38，6）× 8＝2,760,681 × 8＝22,085,448組。

兩區都全中才是頭獎，因此機率是1／22,085,448，約0.000004528%。若只算1／2,760,681，那是第一區6碼全中的機率，尚未區分頭獎與貳獎；雙區判獎可參考威力彩第一區與第二區規則。

三、大樂透任一獎項：把8個互斥獎項加起來

固定當期開出的6個一般獎號與1個特別號後，其餘未中號碼有49－6－1＝42個。下表的命中數都指「恰好」，「對中」以「一般號個數＋特別號個數」表示，後面的1代表含特別號，0代表不含；每列都只歸一個獎項。

表內分子是符合該獎項的選號組數，每列精確機率＝該列分子／13,983,816；要換成百分比，再乘100%。

各列可用同一個方法重算：恰中k個一般號且含特別號，分子為C（6，k）× C（42，5－k）；不含特別號，則為C（6，k）× C（42，6－k）。特別號只有1個，含它的那一格已經固定，不再從42個未中號中挑。

例如陸獎是3個一般號加特別號，還缺2個位置放未中號：C（6，3）× C（42，2）＝20 × 861＝17,220。普獎則是3個一般號、不含特別號，剩下3碼必須全從42個未中號選：20 × C（42，3）＝20 × 11,480＝229,600。

為什麼不能把陸獎再當成普獎？

假設一般獎號是01、08、16、24、35、42，特別號49，單注選01、08、16、20、30、49，符合3個一般號加特別號，歸陸獎。若把「至少中3個一般號」全部當成普獎，再加一次陸獎，就會重複計算這一注。

因此任一獎項的精確值應先加整數分子：

（1＋6＋252＋630＋12,915＋17,220＋172,200＋229,600）／13,983,816＝432,824／13,983,816。

結果約為3.0951780258%，也就是約1／32.3083。這裡也包含「2個一般號加特別號」的柒獎；只中特別號或只有2個一般號，都不符合獎項。

四、威力彩任一獎項：第二區中與未中必須分開

固定第一區6個獎號後，未中第一區號碼有38－6＝32個。第一區恰中k碼的選號組數是C（6，k）× C（32，6－k）；第二區對中只有1種，未中則有7種。

下表「雙區」以「第一區命中數＋第二區命中數」表示，第二區的1代表中、0代表未中；第二區中的分子乘1，未中的分子乘7。每列精確機率＝該列分子／22,085,448，命中數同樣都是恰好。

例如第一區恰中3碼，有C（6，3）× C（32，3）＝20 × 4,960＝99,200組。配上對中的第二區是柒獎，分子99,200；配上7種未中的第二區則是玖獎，分子694,400。兩者條件不同，可以相加。

將10列整數分子相加得到2,602,320，故任一獎項精確值為2,602,320／22,085,448，約11.7829622474%，也就是約1／8.4868。第一區0碼、只有第二區中，沒有獎項，不能額外加上去；第一區1或2碼但第二區未中，也不列入。

五、常見問題

大樂透機率約1／32，是買32注一定中嗎？

不是，約1／32.31是在描述單注符合任一一般獎項的機率，沒有「滿幾注就分配一個獎」的規則。相同號碼的重複注數會一起中或一起未中；不同選號的中獎事件也可能重疊，不能直接用注數乘單注任一獎機率，當成至少中一次的機率。

大樂透特別號為何用42個未中號，不是43個？

扣除6個一般獎號後確實剩43碼，但其中1碼已被指定為特別號，真正「一般號與特別號都沒中」的只有42碼。計算互斥獎項時，必須先決定有沒有特別號，才能避免同一注被算進兩列。

威力彩第二區機率1／8，為什麼總中獎率不是1／8？

因為只中第二區、第一區0碼，並沒有獎項；反過來，第一區中3碼以上，即使第二區未中，仍可能符合玖獎或更高獎項。總中獎率要依10個實際獎項加總，不能只取其中一區的命中率。

頭獎累積變多，單注頭獎機率會改變嗎？

只要選號範圍與頭獎判定不變，上述頭獎組合數就不變，累積金額本身不會改變機率。若另有促銷獎項，應另外依公告計算，不能混入這份一般獎項表。

六、讀機率時，先看事件、單注與精確分數

看到「中獎機率」先確認算的是頭獎還是任一獎項，再核對單期、單注及是否含加碼。大樂透要區分一般號與特別號；威力彩要分開看兩區；加總時先用不重複的獎項條件與整數分子，最後才做小數近似。

若彩券包含系統組合或多期，應先讀懂系統組合、系統配號與多期注數，再確認每一注的範圍，不能把一整張票當成單注。機率是模型中的長期比例，不保證個人結果；娛樂支出以事先設定的預算為限，不因未中獎而追買。